拉格朗日辅助函数的构造方法(证明题中辅助函数怎么构造)

• 1. 什么叫辅助函数？
• 2. 吉姆尼改装费用清单？
• 3. 罗尔中值定理典型例题？
• 4. 罗尔中值定理典型例题？
• 5. 构造法的万能公式？
• 6. 辅助角公式是怎样推导的？

1、什么叫辅助函数？

是用于辅助你处理任务的。每个辅助文件都只是一个特殊分类下一系列函数的集合。

例如 URL辅助函数 用于创建链接，表单辅助函数 用于创建表单元素，文本辅助函数 用于不同的文本编排方式，Cookie辅助函数 用于设置和获取cookies，文件辅助函数 用于处理文件等。

2、吉姆尼改装费用清单？

1. 发动机：3.1L EcoBoost V6发动机，价格约 6000-7000美元。2. 车轮：改装后配备19英寸拉格朗日甩尾碳纤维车轮，价格约4500美元。3. 车架：改装后配备Corsa车架，比原来的车架更结实，价格约2500-3000美元。4. 悬挂：改装后采用专业的弹性悬挂系统，价格约2000美元。5. 排气系统：改装后采用更大的排气管道，价格约1000美元。6. 外观：采用改装雷霆拉格朗日车体套件，价格约2000美元。7. 内饰：采用改装后配备拉格朗日内饰套件，价格约1500美元。

该吉姆尼改装费用清单如下：

轻度越野：可以考虑改改外观，装个前后杠，装个射灯，辅助灯什么的，可能绞盘都不需要装，杠可以装铝镁的，这样耗油更少，改装费用5W以内可以搞定。

极限越野：如果要去参加比赛，爬陡坡的话，就需要做更多改装，比如底盘升高3寸，更换减震，升高套件，方向减震，轮胎轮毂，前后杠，绞盘，大灯等等，改装费用就相对较高了，不过一般也就在10W以内。

3、罗尔中值定理典型例题？

①若要证明 ,则考虑直接使用罗尔定理，无需构造辅助函数。

例：

设 (其中 均为常数)，证：方程 在 内至少有一个解。

思路：经过端点的带入尝试，你会发现无法直接找到函数的零点，因此我们选择求其原函数的两个零点，从而达到我们想要的效果。

解： 令 。

由罗尔定理可得： 即原方程至少存在一个解得证。

②若要证明 ,则考虑构造辅助函数 ,然后使用罗尔定理即可。

此方法可以用来证明拉格朗日中值定理，具体证明见中值定理基础篇。

③若要证明 或者 ,则考虑多次使用罗尔定理。

例1：

设 三阶可导， ,证明:

解:

由于 ,所以由罗尔定理可得： .

因此，可以得到 ，进行两次罗尔定理可得 。 最后，再对 使用一次罗尔定理可得 ，由此得证。

例2：

设 上三阶可导， ,证明:

思路：虽然这道题没有足够多的零点，但是函数是具体的，可以自行求导寻找零点和驻点。

解：由于 使用罗尔定理可得 。

由 可得： 对 使用罗尔定理可得 ,由此得证。

例3：

设 二阶可导， ,证明:

思路：要求二阶导为0，则需要三个 零点，题目已经给出两个，因此我们只需要从第三个条件中推出一个零点即可。

解：不妨假设，

又由于 在 上二阶可导， 由零点定理

到此，我们得到了三个零点，反复使用罗尔定理就可以得到所证结论。

例4：

设 在 上连续,且 证明： 在 内至少有两个零点。

常见的错误解法：直接使用积分中值定理高校网

错解： ,从而由此得到 两个零点，但是实际上这是错误的，因为我们无法确定 与 是否相等。 正确解法：

思路：既然我们无法直接找到函数的两个零点，那么我们可以退而求其次的找其原函数的三个零点，从而达到我们想要的效果。 解：令 ,则 .

由于 再由积分中值定理得 。到此我们得到了三个零点，只需反复使用罗尔定理，就可以得到需证结论。

4、罗尔中值定理典型例题？

①若要证明 ,则考虑直接使用罗尔定理，无需构造辅助函数。

例：

设 (其中 均为常数)，证：方程 在 内至少有一个解。

思路：经过端点的带入尝试，你会发现无法直接找到函数的零点，因此我们选择求其原函数的两个零点，从而达到我们想要的效果。

解： 令 。

由罗尔定理可得： 即原方程至少存在一个解得证。

②若要证明 ,则考虑构造辅助函数 ,然后使用罗尔定理即可。

此方法可以用来证明拉格朗日中值定理，具体证明见中值定理基础篇。

③若要证明 或者 ,则考虑多次使用罗尔定理。

例1：

设 三阶可导， ,证明:

解:

由于 ,所以由罗尔定理可得： .

因此，可以得到 ，进行两次罗尔定理可得 。 最后，再对 使用一次罗尔定理可得 ，由此得证。

例2：

设 上三阶可导， ,证明:

思路：虽然这道题没有足够多的零点，但是函数是具体的，可以自行求导寻找零点和驻点。

解：由于 使用罗尔定理可得 。

由 可得： 对 使用罗尔定理可得 ,由此得证。

例3：

设 二阶可导， ,证明:

思路：要求二阶导为0，则需要三个 零点，题目已经给出两个，因此我们只需要从第三个条件中推出一个零点即可。

解：不妨假设，

又由于 在 上二阶可导， 由零点定理

到此，我们得到了三个零点，反复使用罗尔定理就可以得到所证结论。

例4：

设 在 上连续,且 证明： 在 内至少有两个零点。

常见的错误解法：直接使用积分中值定理

错解： ,从而由此得到 两个零点，但是实际上这是错误的，因为我们无法确定 与 是否相等。 正确解法：

思路：既然我们无法直接找到函数的两个零点，那么我们可以退而求其次的找其原函数的三个零点，从而达到我们想要的效果。 解：令 ,则 .

由于 再由积分中值定理得 。到此我们得到了三个零点，只需反复使用罗尔定理，就可以得到需证结论。

5、构造法的万能公式？

在学习数学的过程中，我们会使用很多解决问题的方法，比如其中构造法就是非常常见的方法了，尤其是在求数列的时候，这种方法是非常实用的，那么常见的数列构造法公式都有哪些呢？1、等差数列求数列构造法，公式是f(n+1)-f(n)=A，其中这个A是常数。2、等比数列求数列构造法，公式是f(n+1)=Af(n)。其中A是非零常熟数。3、辅助数列构造法，没有具体的公式，这个需要把数列进行相应的变形，然后构造出新的等插或者是等比的数列，然后再利用通项公式进行计算

在学习数学的过程中，我们会使用很多解决问题的方法，比如其中构造法就是非常常见的方法了，尤其是在求数列的时候，这种方法是非常实用的，那么常见的数列构造法公式都有哪些呢？1、等差数列求数列构造法，公式是f(n+1)-f(n)=A，其中这个A是常数。2、等比数列求数列构造法，公式是f(n+1)=Af(n)。其中A是非零常熟数。3、辅助数列构造法，没有具体的公式，这个需要把数列进行相应的变形，然后构造出新的等插或者是等比的数列，然后再利用通项公式进行计算

6、辅助角公式是怎样推导的？

三角函数辅助角公式推导：

asinx+bcosx=√(a²+b²)[asinx/√(a²+b²)+bcosx/√(a²+b²)]

令a/√(a²+b²)=cosφ，b/√(a²+b²)=sinφ

asinx+bcosx=√(a²+b²)(sinxcosφ+cosxsinφ)=√(a²+b²)sin(x+φ)

其中，tanφ=sinφ/cosφ=b/a，φ的终边所在象限与点(a,b)所在象限相同。

辅助角公式是李善兰先生提出的一种高等三角函数公式，使用代数式表达为asinx+bcosx=√(a2+b2)sin[x+arctan(b/a)]（a>0）。该公式已经被写入中学课本。